Propiedades de Relaciones


Ejemplos de las propiedades de las relaciones

a) Reflexiva
La relación R del ejemplo anterior dada por:
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} 

Se dice que es reflexiva por que cada elemento x ∈ X, (x, x) ∈ R; los pares ordenados (1, 1), (2, 2), (3, 3) y (4, 4) están en R. Si observamos la di gráfica de la relación reflexiva, encontramos que tiene un lazo sobre cada vértice.

b) Simétrica
Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por:
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

“no es simétrica”, por cuanto no cumple la definición que dice: “si para cada x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R”.

c) Transitiva
Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por:
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} 

“es una relación transitiva R sobre el conjunto X”, por cuanto cumple la definición que dice: “x, y, z ∈ X, si (x, y) y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R”.

Específicamente tenemos (1, 2), (2, 3) se tiene (1, 3); (1, 3), (3, 4) se tiene (1, 4); (2, 3), (3, 4) se tiene (2, 4) todos pertenecen a R.


d) Anti simétrica
Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por: 

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
“la relación R sobre el conjunto X es anti simétrica”, por cuanto cumple la definición que dice para toda: “x, y X, si (x, y) ∈ R y x ≠ y, entonces (x, y) ∉ R”. Específicamente tenemos (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) pertenecen a R, pero (2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3) no pertenecen a R.


e) Inversa 

Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por:
R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} 

La relación inversa de R que se denota por R-1, esta dada por:
R - 1 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (3, 3), (4, 3), (4, 4)}

Relacion Reflexiva

Relacion Irreflexiva

Relacion Simetrica