Matriz de relación

Una matriz es una manera conveniente de representar una relación R de X a Y. Se etiquetan los renglones con elementos de X (en algún orden arbitrario), y se etiquetan las columnas con elementos de Y (orden arbitrario). Luego el elemento en el renglón x y la columna y se hace igual a 1 si xRy, y 0 de otra manera. Esta matriz se llama matriz de la relación R.

Ejemplos:

Formar la matriz de relación de los siguientes conjuntos:

a)

R = {(1, b), (1, d), (2, c), (3, c), (3, b), (4, a)}

Donde X = {1, 2, 3,4} y = {a, b, c, d}

Considerando los ordenes: 1, 2, 3,4 y a, b, c, d tenemos la matriz:


b)

X = {2, 3, 4} Y = {5, 6, 7, 8}

Considerando las ordenes: 2, 3, 4 y 5, 6, 7,8; definida por xRy si x divide a y

 

Relaciones Binarias
Una relación binaria es una relacion matematica R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados 


Las proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria.



Par ordenado 

Las partes de un par ordenado son:

Primer conjunto

Primer componente

Segundo conjunto

Segundo componente

Del siguiente par ordenado (a, b) podemos decir que:

a es el primer componente del primer conjunto y;

b como el segundo componente del segundo conjunto.

Matemáticamente esto se expresa: 

Producto cartesiano




Obtenemos el producto cartesiano de A por B, colocando en una tabla los elementos del conjunto A en el eje horizontal y los de B en vertical, en la intersección colocamos los pares ordenados correspondientes, percatarse que en el par ordenado, en primer lugar se coloca el elemento de A, del eje horizontal y en segundo lugar el de B, del eje vertical.

La enumeración de los elementos, del conjunto de pares ordenados, seria el siguiente:

La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte de las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos conjuntos distintos.

Debido a que este tipo de relaciones
Son las más frecuentes, el termino “relación” denota generalmente una relación binaria; adoptaremos este
Criterio cuando no haya confusión y especificaremos las que no sean binarias con términos tales como
“ternaria” o “n-aria”.

Si (a, b) 2 R diremos que a esta relacionado con b y lo notaremos por aRb.

Si (a, b) /2 R, escribiremos aR/ b y diremos que a no esta relacionado con b.

Ejemplo:

Sea A = {huevos, leche, maíz} y B = {vacas, cabras, gallinas}. Escribir la relación R

De A B definida por:

(A, b) 2 R () a es producido por b

Solución

La relación seria:

R = {(huevos, gallinas), (leche, vacas), (leche, cabras)}



Aqui un video que les dejara mas en claro lo que es una relacion binaria.

Propiedades de Relaciones


Ejemplos de las propiedades de las relaciones

a) Reflexiva
La relación R del ejemplo anterior dada por:
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} 

Se dice que es reflexiva por que cada elemento x ∈ X, (x, x) ∈ R; los pares ordenados (1, 1), (2, 2), (3, 3) y (4, 4) están en R. Si observamos la di gráfica de la relación reflexiva, encontramos que tiene un lazo sobre cada vértice.

b) Simétrica
Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por:
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

“no es simétrica”, por cuanto no cumple la definición que dice: “si para cada x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R”.

c) Transitiva
Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por:
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} 

“es una relación transitiva R sobre el conjunto X”, por cuanto cumple la definición que dice: “x, y, z ∈ X, si (x, y) y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R”.

Específicamente tenemos (1, 2), (2, 3) se tiene (1, 3); (1, 3), (3, 4) se tiene (1, 4); (2, 3), (3, 4) se tiene (2, 4) todos pertenecen a R.


d) Anti simétrica
Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por: 

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
“la relación R sobre el conjunto X es anti simétrica”, por cuanto cumple la definición que dice para toda: “x, y X, si (x, y) ∈ R y x ≠ y, entonces (x, y) ∉ R”. Específicamente tenemos (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) pertenecen a R, pero (2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3) no pertenecen a R.


e) Inversa 

Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por:
R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} 

La relación inversa de R que se denota por R-1, esta dada por:
R - 1 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (3, 3), (4, 3), (4, 4)}

Relacion Reflexiva

Relacion Irreflexiva

Relacion Simetrica

Uso de Relaciones

Las relaciones que son parte de un modelo matemático están a menudo implícitamente representadas por 

una estructura de datos. 

Aplicaciones numéricas, recuperación de información y problemas de redes son algunos ejemplos donde 

Las relaciones ocurren como parte de la descripción del problema, y la manipulación de relaciones es 

Importante en la resolución de procedimientos. 

Las relaciones también juegan un importante papel en la teoría de computación, incluyendo estructuras de programas y análisis de algoritmos. 

Ya dos relaciones importantes entre proposiciones: la implicación y la equivalencia. 

También hemos estudiado la relación de subconjunto para conjuntos. En ´algebra y cálculo son importantes 

Las relaciones entre variables; en geometría lo son las relaciones entre figuras. Hasta el momento 

No hemos necesitado una definición precisa de la palabra relación. Sin embargo, sin una definición formal es difícil responder preguntas sobre relaciones. 

Existen relaciones entre elementos, entre conjuntos y entre elementos y conjuntos, relaciones de inclusión entre conjuntos; relaciones como “mayor que” o “menor o igual que” 

Entre números, etc. La maten ática intenta, como ahora veremos, hacerse eco de tales sucesos y, mediante un proceso de abstracción, expresarlas y estudiarlas científicamente. 

Sean los conjuntos A1, A2,. . ., En. Una relación R sobre A1×A2×· · ·×En es cualquier subconjunto 

De este producto cartesiano, es decir, 

R _ A1 × A2 × · · · × En 

Si R =; llamaremos a R, la relación vacía. 

Si R = A1 × A2 × · · · × An, llamaremos a R la relación universal. 

Si A = A, 8i = 1, 2,. . ., n, entonces R es una relación n-aria sobre A. 

Si n = 2, diremos que R es una relación binaria y si n = 3, una relación ternaria.

Diagrama de una relacion.